Elenchiamo questi annichilatori:

funzione Annichilatore

y=x^m-1 D^m

y=ea ^x D-a

y= x^m-1 ea ^x (D-a )^m

y=cos b x oppure y=sin b x D²-b ²

y= x^m-1 cos b x oppure y=x^m-1 sin b x (D²-b ²)^m

y= ea ^x cos b x oppure y= ea ^x sin b x D²-2a D+(a ²+b ²)

y= x^m-1 ea ^x cos b x oppure y= x^m-1 ea ^x sin b x [D²-2a D+(a ²+b ²)]^m

Esercizio n. 1.1 -

Il polinomio caratteristico è :

p_A(r) = 5r² + 4r + 1

le radici del quale sono:

allora la soluzione generale è: x(t) = e^-(2/5)t[c₁ cos(1/5)t + c₂ sin(1/5)t]

Il polinomio caratteristico è:

p_A(r) = r² - 4r + 3

le radici del quale sono:

cioè: 3,1

Quindi la soluzione generale dell’ equazione omogenea è:

x(t)=c₁ e^3t + c₂ e^t

Ora:

x(0) = c₁ + c₂ = 6

x’(t) = 3c₁ e^3t + c₂ e^t

x’(0) = 3c₁ + c₂ = 10

ne risulta il seguente sistema:

c₁ + c₂ = 6

3c₁ + c₂ = 10

che risolto da come risultato:

c₁ = 2 c₂ =4

la soluzione del problema di Cauchy e: x(t) = 2 e^3t + 4 e^t

Il polinomio caratteristico è:

p_A(r) = 3r² - 5r - 2

le radici del quale sono:

cioè:2,-1/3

Quindi la soluzione generale dell’ equazione omogenea è:

x(t)=c₁ e^2t + c₂ e^-(1/3)t

Ora:

x(0) = c₁ + c₂ = 1

x’(t) = 2c₁ e^2t - (1/3)c₂ e^-(1/3)t

x’(0) = 2c₁ - (1/3)c₂ = 1

ne risulta il seguente sistema:

c₁ + c₂ = 1

2c₁ - (1/3)c₂ = 1

che risolto da come risultato:

c₁ = 4/7 c₂ = 3/7

la soluzione del problema di Cauchy e: x(t) = (4/7) e^2t + (3/7) e^-(1/3)t

Esercizio n. 1.4-

a)Il polinomio caratteristico è :

p_A(r) = r² + 2r + 5

le radici del quale sono:

allora la soluzione generale è: y(t) = e^-t[c₁ cos2t + c₂ sin2t]

b) Il polinomio caratteristico è:

p_A(r) = r² + 4r + 4

le radici del quale sono:

cioè:2 di molteplicità 2

Quindi la soluzione generale è: y(t)=c₁ e^-2t + c₂ te^-2t

c) Il polinomio caratteristico è:

p_A(r) = r² - 4r - 12

le radici del quale sono:

Quindi la soluzione generale è: y(t)=

L’ equazione omogenea associata si può scrivere come:

(D² + 2D -8)y = 0 che si può scomporre in: (D-2)(D+4)y = 0

questa equazione ha le soluzioni indipendenti u₁(x) = e^2x , u₂(x) = e^-4x

Cerchiamo ora una soluzione particolare della equazione non omogenea.

Osserviamo che R(x) = -8x² + 4x - 14 è una soluzione dell’equazione D³y = 0 e questo è l’annichilatore.

Infatti

R’(x) = -16x +4

R’’(x) = -16

R’’’(x) = 0

D³(-8x² + 4x - 14) = 0

Perciò se si applica ad entrambi i membri dell’equazione non omogenea l’operatore D³ si trova che ogni funzione che soddisfa la non omogenea deve anche soddisfare l’equazione:

D³(D-2)(D+4)y = 0

l’operatore D³ contiene le funzioni indipendenti: u₁(x) = 1 , u₂(x) = x, u₃(x) =x²

considero quindi y₁ = A + Bx + C x²

senza le soluzioni dell’omogenea poiché (D-2)(D+4)(c₁ e^2x + c₂ e^-4x) = 0

si ha: D(y₁) = 2Cx + B

D²(y₁) = 2C

cosicché l’equazione (D² + 2D -8)y = -8x² + 4x - 14 diventa:

2C + 2(2Cx + B) - 8(A + Bx + C x²) = -8x² + 4x - 14

uguagliando i coefficienti a destra e sinistra otteniamo il seguente sistema:

2C - 8A = -14

4C - 8B = 4

-8C = -8

quindi A = 2, B = 0, C = 1

la soluzione generale dell’equazione non omogenea è:

y(x) = c₁ e^2x + c₂ e^-4x + 2 + x²

utilizzando ora le condizioni iniziali troviamo i valori di c₁ , c₂ .

y(0) = c₁ + c₂ + 2 = 7

y’(x) = 2c₁ e^2x - 4c₂ e^-4x + 2x

y’(0) = 2c₁ - 4c₂ = -8

dobbiamo risolvere quindi il sistema:

c₁ + c₂ + 2 = 7

2c₁ - 4c₂ = -8

le soluzioni sono c₁ = 2 ,c₂ = 3

la soluzione generale del problema di Cauchy è quindi:

y(x) = 2e^2x + 3e^-4x + 2 + x²

L’equazione omogenea associata si può scrivere come:

(D² + 8D +7)y = 0 che si può scomporre in: (D+7)(D+1)y = 0

questa equazione ha le soluzioni indipendenti u₁(x) = e^-7x , u₂(x) = e^-x

Cerchiamo ora una soluzione particolare della equazione non omogenea.

Osserviamo che R(x) = (x+4)cos3x è una soluzione dell’equazione

(D² + 3²)² = 0 che scomposto è : (D² + 3²) (D² + 3²)y = 0 e questo è l’annichilatore.

Infatti R’(x) = cos3x - 3(x+4)sin3x

R’’(x) = -3sin3x- 3[sin 3x + 3(x+4)cos3x]

= -6sin3x - 9(x+4)cos3x

(D² + 3²)(-6sin3x) = 0 infatti D = -18cos3x, D² = 54sin3x e

54sin3x + 9(-6sin3x) = 0

Perciò se si applica ad entrambi i membri dell’equazione non omogenea l’operatore (D² + 3²)² si trova che ogni funzione che soddisfa la non omogenea deve anche soddisfare l’equazione:

(D² + 3²)²(D+7)(D+1)y = 0

l’operatore (D² + 3²)² contiene le funzioni indipendenti:

u₁(x) = cos3x, u₂(x) = xcos3x

v₁(x) = sin 3x, v₂(x) = xsin3x

considero allora: y₁ = (A + Bx)cos3x + (C + Dx)sin3x

si ha:

D(y₁) = Bcos3x - 3(A + Bx)sin3x + Dsin3x + 3(C + Dx)cos3x

=(D-3A-3Bx)sin3x + (B+3C+3Dx)cos3x

D²(y₁) = -3Bsin3x+3(D-3A-3Bx)cos3x+3Dcos3x-3(B+3C+3Dx)sin3x

=(6D-9A-9Bx)cos3x - (6B+9C+9Dx)sin3x

cosicché l’equazione (D² + 8D +7)y₁ = (x+4)cos3x diventa:

(6D-9A-9Bx)cos3x-(6B+9C+9Dx)sin3x+8[(D-3A-3Bx)sin3x+(B+3C+3Dx)cos3x]+ +7[(A+Bx)cos3x+(C+Dx)sin3x]=(x+4)cos3x

possiamo uguagliare i coefficienti del seno e del coseno risulta:

-(6B+9C+9Dx)+8(D-3A-3Bx)+7(C+Dx) = 0

quindi:-24A-6B-2C+8D-24Bx-2Dx = 0

(6D-9A-9Bx)+8(B+3C+3Dx)+7(A+Bx) = x+4

quindi: -2A+8B+24C-2Bx+24Dx = x+4

dalle quali possiamo scrivere il sistema:

-24A-6B-2C+8D = 0

-24B-2D = 0

-2A+8B+24C = 4

-2B+24D = 1

le soluzioni del quale sono:

A = 562/21025

B = - 1/290

C= -6093/42050

D = 6/145

La soluzione generale dell’equazione non omogenea è:

y(x) = c₁ e^-7x + c₂ e^-x + (A+Bx)cos3x + (C+Dx)sin3x

Ora y(-1) = 1 e y’(-1) = 0

y’(x) = -7c₁ e^-7x - c₂ e^-x + Bcos3x - 3(A+Bx)sin3x + Dsin3x + 3(C+Dx)cos3x

= -7c₁ e^-7x - c₂ e^-x + (D-3A-3Bx)sin3x + (B+3C+3Dx)cos3x

si ottiene quindi il sistema:

y(-1) = c₁ e⁷ + c₂ e + (A-B)cos3 - (C-D)sin3 = 1

y’(-1) = -7c₁ e⁷ - c₂ e - (D-3A+3B)sin3 + (B+3C-3D)cos3=0

risolto per sostituzione dà:

sostituendo A,B,C,D trovati prima troviamo le due costanti c₁,c₂

e quindi la soluzione generale del problema di Cauchy.

L’equazione omogenea associata si può scrivere come

(3D² + 10D +3)y = 0 che si può scomporre in: (D+3)(D+1/3)y = 0

questa equazione ha le soluzioni indipendenti u₁(x) = e^-3x , u₂(x) = e^-(1/3)x

Cerchiamo ora una soluzione particolare della equazione non omogenea.

Osserviamo che R(x) = (x+4)e^x è una soluzione dell’equazione

(D - 1)² = 0 che scomposto è : (D - 1) (D - 1)y = 0 e questo è l’annichilatore.

Infatti

R’(x) = e^x + (x+4)e^x

(D-1)( e^x )=0 infatti D(e^x)= e^x ed e^x - e^x = 0

Perciò se si applica ad entrambi i membri dell’equazione non omogenea l’operatore (D - 1)² si trova che ogni funzione che soddisfa la non omogenea deve anche soddisfare l’equazione:

(D - 1)²(D+3)(D+1/3)y = 0

l’operatore (D - 1)² contiene le funzioni indipendenti:

u₁(x) = e^x , u₂(x) = x e^x

allora considero y₁ = (A+Bx) e^x

senza le soluzioni dell’omogenea poichè

(D+3)(D+1/3)( c₁e^-3x + c₂e^-(1/3)x ) = 0

D(y₁) = Be^x + (A+Bx) e^x = (A+B+Bx) e^x

D²(y₁) = Be^x + Be^x + (A+Bx) e^x = (A+2B+Bx) e^x

cosicchè l’equazione (3D² + 10D +3)y₁ = (x+4)e^x diventa

3(A+2B+Bx) e^x + 10(A+B+Bx) e^x + 3(A+Bx) e^x = (x+4)e^x

uguagliando i coefficienti dell’esponenziale si ha

16A+16B+16Bx = x+4 dalla quale otteniamo il seguente sistema

16A+16B = 4

16B = 1

le soluzioni sono: A=3/16,B=1/16

la soluzione generale della non omogenea è:

y(x)= c₁e^-3x + c₂e^-(1/3)x + (A+Bx) e^x

per trovare c₁ e c₂ utilizziamo le condizioni iniziali

y(-1) = 0, y’(-1) = 0

y’(x)= -3c₁e^-3x -(1/3)c₂e^-(1/3)x + Be^x +(A+Bx) e^x

quindi otteniamo il seguente sistema

y(-1) = c₁e³ + c₂e^(1/3) + (A-B) e^-1 = 0

y’(-1) = -3c₁e³ -(1/3)c₂e^(1/3) + Be^x +(A-B) e^-1 = -3c₁e³ -(1/3)c₂e^(1/3) + Ae^-1

che risolto per sostituzione da come risultato

sostituendo i valori di A e B si trovano le costanti e quindi la soluzione generale del problema di Cauchy.

L’equazione omogenea associata si può scrivere come

(D² + 2D + 1)y = 0 che si può scomporre in: (D+1)²y = 0

questa equazione ha le soluzioni indipendenti u₁(x) = e^-x , u₂(x) = xe^-x

Cerchiamo ora una soluzione particolare della equazione non omogenea.

Osserviamo che R(x) = xe^x è una soluzione dell’equazione

(D - 1)² = 0 che scomposto è : (D - 1) (D - 1)y = 0 e questo è l’annichilatore.

Infatti

R’(x) = e^x + xe^x

(D-1)( e^x )=0 infatti D(e^x)= e^x ed e^x - e^x = 0

Perciò se si applica ad entrambi i membri dell’equazione non omogenea l’operatore (D - 1)² si trova che ogni funzione che soddisfa la non omogenea deve anche soddisfare l’equazione:

(D - 1)²(D+1)²y = 0

l’operatore (D - 1)² contiene le funzioni indipendenti:

u₁(x) = e^x , u₂(x) = x e^x

allora considero y₁ = (A+Bx) e^x

senza le soluzioni dell’omogenea poichè

(D+1)²( c₁e^-x + c₂xe^-x ) = 0

D(y₁) = Be^x + (A+Bx) e^x = (A+B+Bx) e^x

D²(y₁) = Be^x + Be^x + (A+Bx) e^x = (A+2B+Bx) e^x

cosicchè l’equazione (D² + 2D +1)y₁ = xe^x diventa

[(A+2B+Bx) e^x]+2[(A+B+Bx) e^x]+ (A+Bx) e^x = xe^x

dal quale uguagliando i coefficienti a destra e sinistra otteniamo il seguente sistema

4A+4B = 0

4B = 1

che dà come soluzioni A=-(1/4), B=1/4

la soluzione generale è data da: y(x)= c₁e^-x + c₂xe^-x + [-(1/4)+(1/4)x] e^x

le costanti le troviamo dalle condizioni iniziali

y’(x) = -c₁e^-x + c₂e^-x - c₂xe^-x + (1/4)e^x + [-(1/4)+(1/4)x] e^x

dalle quali troviamo il seguente sistema

y(-1) = c₁e - c₂e + [-(1/4)-(1/4)] e^-1 = c₁e - c₂e -(1/2)e^-1 = 0

y’(1) = -c₁e^-1 + c₂e^-1 - c₂e^-1 + (1/4)e¹ + [-(1/4)+(1/4)] e¹ = -c₁e^-1 + (1/4)e¹ = 0

dalle quali per sostituzione troviamo

c₁ = (1/4)e²

c₂ = -(1/2)e^-2 + (1/4)e²

troviamo cosi la soluzione generale del problema di Cauchy.

ydy = xdx allora integrando entrambi i membri si ha che ovvero y² - x² = C₁ dove C₁ = 2C è una costante arbitraria. Le curve delle soluzioni sono le iperboli equilatere con asinoti y = x e y = -x.

poichè y=3 quando x = 1 (è dato dal problema) si ha che . Sostituendo questo valore nella soluzione appena scritta e risolvendo rispetto a y otteniamo: . Questa soluzione è valida per

Dobbiamo determinare m (x) soluzione dell’equazione differenziale allora m (x) = ln x allora em ^(x) = x.

Allora calcoliamo e mediante integrazione . Questa funzione è soluzione dell’equazione considerata per qualunque valore della costante C.

p(x) = x allora m (x) = x²/2

Calcoliamo

poichè

Quindi

L’equazione è omogenea. Posto y = vx si ha che

allora

posto u = 1 - v² si ha du = -2vdv e quindi

dove C₁ = ln C. Allora dove C₂ = 1/C₁.

Allora ed è il modo migliore per esprimere la soluzione.

L’equazione ausiliaria è r² + r -2 = 0. Allora (r + 2)(r - 1) =0 e le radici sono: r₁ = -2, r₂ = 1. Quindi la soluzione generale è y(t) = A e^-2t + B e^t .

L’equazione ausiliaria è r² + 6r + 9 = 0. Allora (r+3)² = 0 che ha radici coincidenti r = -3. Allora la soluzione generale è y(t) = A e^-3t + Bt e^-3t

L’equazione ausiliaria è r² + 4r + 13 = 0. Il discriminante è D = b² - 4ac = 16 - 52 = - 36 < 0.Abbiamo parte reale - (b/2a) = - 2 e parte immaginaria w = = 3. Per cui la soluzione generale dell’equazione differenziale data è: y(t) = A e^-2t cos 3t+ B e^-2t sin 3t.

Abbiamo b² - 4ac = 4 - 8 = -4 <0 . Inoltre parte reale - (b/2a) = - 1 e parte immaginaria w = = 1. Quindi la soluzione generale dell’equazione differenziale data è : y(t) = A e^-t cos t+ B e^-t sin t.

Inoltre risulta:

y’(t) = e^-t ( - A cos t - B sin t -A sin t + B cos t) = (B-A) e^-t cos t - (A+B) e^-t sin t .

Imponendo le condizioni iniziali:

y(0) = 2. Allora A = 2

y’(0) = -3. Allora B-A = -3. Pertanto B = -1.

La soluzione del problema di Cauchy è: y(t) = 2 e^-t cos t - e^-t sin t

Una soluzione particolare y_p (x) dell’ equazione non omogenea può essere determinata nella forma:

y_p (x) = [u₁ (x)] e^x + [u₂ (x)] e^2x

dove u₁ (x) e u₂ (x) soddisfano il sistema di due equazioni:

[u’₁ (x)] e^x + [u’₂ (x)] e^2x = 0

[u’₁ (x)] e^x + 2[u’₂ (x)] e^2x = 4x

Il wronskiano del sistema è:

Quindi

Quindi

La soluzione generale della non omogenea è quindi:

y(x) = y_p (x) + y₀ (x) = 2x + 3 + C₁ e^x + C₂ e^2x.

y’’+4y = 0 Allora r² + 4 = 0, D = -16 < 0 Allora la parte reale è -(b/2a) = 0 e la parte immaginaria w = = 2.

Allora la soluzione generale della omogenea è: y(x) = A cos 2x + B sin 2x

Allora y₀ (x) = A cos 2x + B sin 2x

Poniamo y_p (x) = [u₁ (x)] cos 2x + [u₂ (x)] sin 2x

Considero il sistema di due equazioni:

[u’₁ (x)] cos 2x + [u’₂ (x)] sin 2x = 0

-2[u’₁ (x)] sin 2x + 2[u₂ (x)] cos 2x = sin x

Il wronskiano è:

Quindi la soluzione generale dell’equazione non omogenea è:

y(x) = (1/3)sinx + A cos 2x + B sin 2x

y’’ + 2y’ -8y = 0 Allora r² + 2r -8 = 0 Allora r_1,2 = Allora r₁ = 2, r₂ = -4.

Quindi y₀ (x) = C₁ e^2x + C₂ e^-4x e y_p (x) =[ u₁ (x)]e^2x + [u₂ (x)]e^-4x

Consideriamo quindi il sistema di due equazioni

[ u’₁ (x)]e^2x + [u’₂ (x)]e^-4x = 0

2[ u’₁ (x)]e^2x -4 [u’₂ (x)]e^-4x = -8x² +4x -14

Il wronskiano è:

Quindi la soluzione generale della non omogenea è:

y(x) = x² + 2 + C₁ e^2x + C₂ e^-4x

I valori di C₁ e C₂ sono quelli determinati nell’esercizio 1.5.

Considero 2y’’ + 3y = 0.Allora 2D² + 3D = 0 che si può scomporre in D(2D+3)=0. Quindi le soluzioni indipendenti sono: u₁ (x)=1, u₂ (x) = . Cerchiamo ora una soluzione particolare y₁ dell’equazione non omogenea. La funzione 5x + 7 è soluzione dell’ equazione omogenea:

D² y = 0. Perciò se si applica a entrambi i membri dell’equazione non omogenea l’operatore D² si trova che ogni funzione che soddisfi l’equazione differenziale non omogenea deve anche soddisfare la seguente:

D³ (2D+3) y = 0. Questa equazione differenziale ha le radici caratteristiche 0 di molteplicità 3 e - 3/2. Così tutte le sue soluzioni si trovano nella combinazione lineare y = Ax² + Bx +C +D dove A,B,C,D sono costanti. Vogliamo scegliere A,B,C,D in modo tale che la soluzione risultante y₁ soddisfi l’equazione L(y₁ ) = 5x + 7 dove L = D(2D+3). Poichè L(C+D) = 0 per ogni scelta di C, D si debbono soltanto scegliere A e B in modo tale che L(Ax² + Bx) = 5x + 7 e prendere C = D = 0.

Se si pone y₁ = Ax² + Bx si ha che

D(y₁ ) = 2Ax + B e D² (y₁ ) = 2A

Cosi che l’equazione (2D² + 3D)y = 5x + 7 diventa

2(2A) + 3(2Ax + B) = 5x + 7

dalla quale per identità polinomiale abbiamo il seguente sistema
4A + 3B = 7

6A = 5

con soluzione A= 5/6 e B = 11/9. Allora y₁ = e la soluzione generale dell’equazione non omogenea è: y(x) = + C₁ + C₂ .

Il polinomio caratteristico della omogenea è : 2r² + 3r = 0 che si può scomporre in r(2r + 3) = 0. Quindi le radici sono 0, -3/2. Allora y₀ = C₁ + C₂ . Ora troviamo una soluzione particolare della non omogenea della forma: y_p = u₁ y₁ +u₂ y₂ dove y₁ , y₂ sono soluzioni indipendenti della omogenea. Si considera quindi il seguente sistema:

u’₁ + u’₂ = 0

u’₂ =

Il wronskiano è :

Quindi la soluzione genrale dell’equazione non omogenea è: : y(x) =+ C₁ + C₂ .

y’’- 4y’ + 4y = 0 Þ r² -4r + 4 = 0 Þ r_1,2 = 2. Cioè abbiamo come radici 2 con molteplicità 2.

y₁ = e^2x , y₂ = xe^2x , y_p = u₁ y₁ + u₂ y₂

y’’-3y’ + 2y = 0

r² - 3r + 2=0

r₁ = 1, r₂ = 2

Þ y₁ = e^x , y₂ = e^2x, y₀ = c₁ e^x + c₂ e^2x

-2y’’ + y’ = 0 Þ -2r² + r = 0Þ r (-2r + 1 ) = 0 Þ r₁ = 0, r₂ = ½ Þ

, y_p = u₁ y₁ + u₂ y₂

-2y’’ + y’ = 0 Þ -2r² + r = 0 Þ r(-2r + 1) = 0 Þ r₁ = 0, r₂ = ½ Þ y₁ = e^0x = 1, y₂ =

y’’ - 2y’ + y = 0 Þ r² -2r + 1 = 0Þ r_1,2 = 1Þ y₁ = e^x, y₂ = xe^x